最近、自然言語処理の話ばかりで、
たまには違うことを書きたくなった。
というわけで、
今回は数学のお話をしよう。
タイトルにある通り、
有限小数と分数の関係についてだ。
表面上の話は中学校で出てくるが、
詳細なものは恐らく出てこない。
そんなことをちょっとだけ、
深掘りしてみよう。
今回説明する内容
今回、以下の定理を証明しようと思う。
有理数が有限小数であることと、
それを分数で表した時の分母の
素因数が2と5のみであることは
同値である。
簡単に例を。
例えば、0.03という数があったとしよう。
これは、小数第2位までなので、有限小数だ。
これを分数に直すと3/100で、分母を見ると素因数が2と5のみだ。
というように、有限小数であることと、
分母の素因数が2と5のみであることは
同じだよという内容。
中学では、この事実のみ教えられ、
分数が有限小数かという問題があった
ように記憶している。
さて、ではこれを証明していこう。
有限小数なら分母の素因数が2,5のみ
まずはこちらから。
この有限小数\(\frac{n}{m}\)が、
小数第\(a\)位まであるとしよう。
また、証明の都合上、
\(n\)と\(m\)はすでに約分されているものとする。
では、この数に\(10^a\)を掛けよう。
$$\frac{n \times 10^a}{m}$$
すると、整数になる。
ということは、
分母の\(m\)は1に約分できるということ。
さて、前提で\(n\)とはすでに
約分が終えているものとしていた。
ということは、
約分できる先は\(10^a\)だけ。
そして、この素因数を見ると2と5しかない。
つまり、それと約分しきれる\(m\)も、
素因数を2と5しか持たないのだ。
よって、こちら側は正しい。
分母の素因数が2,5のみなら有限小数
次にこちら。
有理数\(\frac{n}{m}\)で、
同じように約分は済んでいるとしよう。
前提から、
$$m = 2^a \times 5^b$$
と書き表せる。
というわけで、式変形をしてみよう。
$$
\begin{eqnarray}
\frac{n}{2^a \times 5^b} & = & \frac{2^b \times 5^a \times n}{2^a \times 5^b \times 2^b \times 5^a} \\
& = & \frac{2^b \times 5^a \times n}{10^{a + b}}
\end{eqnarray}
$$
こうなった。
分子は全て整数の掛け算なので整数、
分母は10の累乗だ。
ということは、明らかに有限小数となっている。
よって、こちらも成立、
最終的に正しいことが示せた。
おわりに
今回、純粋にやりたかったのでやっただけだ。
後悔はしていないが、公開してみるとしよう。
これからも、たまーにこういった
数学のお話をしていこうと思う。
何気なく使っているものでも、
結構面白い発見がある場合もあるので、
よかったら色々と注目してみよう。
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