有限小数と分数の関係

最近、自然言語処理の話ばかりで、
たまには違うことを書きたくなった。

というわけで、
今回は数学のお話をしよう。

タイトルにある通り、
有限小数と分数の関係についてだ。

表面上の話は中学校で出てくるが、
詳細なものは恐らく出てこない。

そんなことをちょっとだけ、
深掘りしてみよう。

今回説明する内容

今回、以下の定理を証明しようと思う。

有理数が有限小数であることと、
それを分数で表した時の分母の
素因数が2と5のみであることは
同値である。

簡単に例を。

例えば、0.03という数があったとしよう。

これは、小数第2位までなので、有限小数だ。

これを分数に直すと3/100で、分母を見ると素因数が2と5のみだ。

というように、有限小数であることと、
分母の素因数が2と5のみであることは
同じだよという内容。

中学では、この事実のみ教えられ、
分数が有限小数かという問題があった
ように記憶している。

さて、ではこれを証明していこう。

有限小数なら分母の素因数が2,5のみ

まずはこちらから。

この有限小数\(\frac{n}{m}\)が、
小数第\(a\)位まであるとしよう。

また、証明の都合上、
\(n\)と\(m\)はすでに約分されているものとする。

では、この数に\(10^a\)を掛けよう。

$$\frac{n \times 10^a}{m}$$

すると、整数になる。

ということは、
分母の\(m\)は1に約分できるということ。

さて、前提で\(n\)とはすでに
約分が終えているものとしていた。

ということは、
約分できる先は\(10^a\)だけ。

そして、この素因数を見ると2と5しかない。

つまり、それと約分しきれる\(m\)も、
素因数を2と5しか持たないのだ。

よって、こちら側は正しい。

分母の素因数が2,5のみなら有限小数

次にこちら。

有理数\(\frac{n}{m}\)で、
同じように約分は済んでいるとしよう。

前提から、

$$m = 2^a \times 5^b$$

と書き表せる。

というわけで、式変形をしてみよう。

$$
\begin{eqnarray}
\frac{n}{2^a \times 5^b} & = & \frac{2^b \times 5^a \times n}{2^a \times 5^b \times 2^b \times 5^a} \\
& = & \frac{2^b \times 5^a \times n}{10^{a + b}}
\end{eqnarray}
$$

こうなった。

分子は全て整数の掛け算なので整数、
分母は10の累乗だ。

ということは、明らかに有限小数となっている。

よって、こちらも成立、
最終的に正しいことが示せた。

おわりに

今回、純粋にやりたかったのでやっただけだ。

後悔はしていないが、公開してみるとしよう。

これからも、たまーにこういった
数学のお話をしていこうと思う。

何気なく使っているものでも、
結構面白い発見がある場合もあるので、
よかったら色々と注目してみよう。