フェルマーの最終定理を一部証明してみよう-あらすじ編-

紹介系

最近、とある動画を見た。

ある数学の定理を証明するまでの歴史を解説したものだ。

オリラジの中田敦彦さんが解説されている。

先に書いておくが、難しい話は一切出てこない

そのため、数学嫌いの方でも抵抗なく見れると思う。

以下動画を貼っておくので、よかったら見てみて欲しい。

【フェルマーの最終定理①】300年前に天才が残した数学界最大の難問
【フェルマーの最終定理②】天才が残した300年前の難問に終止符

で、これを見て、数学熱が再発した。

というわけで、今回からちょっと数学をやっていこうと思う。

目標は、フェルマーの最終定理を一部証明するところまで

…完全に動画の影響を受けている。

こんな面白い話を聞いたら、やらずにはいられなかった。

今回は、そもそもフェルマーの最終定理とは何ぞやということと、
どんな形で進めていくかを提示する。

次回から本格的な証明の準備に入っていこう。

なお、私はただ趣味でやっているレベルなので、
わかりやすさを優先しようと思う。

厳密な議論では抜け漏れがあるかもしれないが、
ご了承いただきたい。

スポンサーリンク

フェルマーの最終定理とは

上に貼った動画をご覧いただければ分かるかと思うが、以下の定理だ。

自然数\(n\)が3以上のとき、
以下の等式を満たす自然数\(x, y, z\)の組は存在しない。

$$x^n + y^n = z^n$$

何を言っているかは分かると思う。

ただ、この証明は約300年もの間数学者を苦しめた

で、これを完全に証明するには、余りに難しすぎる。

だから、今回一部とした。

なお、ここから先、フェルマーの最終定理と毎回書くのは長すぎるので、
\(FLT(n)\)と呼ばせてもらう。

FLTとは、Fermat’s Last Theoremの頭文字をとったもので、
括弧内の数字は、\(n\)乗するという数を入れる。

今回証明する範囲

今回は、\(n\)が4の倍数の場合に成立することを証明しよう。

つまり、\(n\)を自然数として、\(FLT(4n)\)を示す。

これだけであれば、
中学~高校くらいまでの内容が分かっていれば証明できてしまうのだ。

証明の概略…の前に

実は、概略を説明するためにも、ある言葉を説明する必要がある。

それが、無限降下法というもの。

これは背理法の一種なのだが、まずはこの背理法から説明しておこう。

背理法

背理法とは、本来証明したいことの否定を仮定し、
矛盾を導くことにより元が正しかったことを示す手法だ。

今回で言えば、存在しないことを示したいので、
存在すると仮定して進め、どこかで矛盾を起こさせる

この矛盾というのは、ある主張に対し、
それが正しい間違っている両方が導けることを言う。

本来なり得ない二つの状態が同時に成立することが、数学における矛盾だ。

で、背理法では最初に仮定をしており、
それがまずかったので元が正しいと言える、という流れだ。

背理法の具体例:\(\sqrt{2}\)が無理数であることの証明

簡単な例で、\(\sqrt{2}\)が無理数であることを示してみよう。

まず、証明したいことの否定を仮定する、
つまり\(\sqrt{2}\)が有理数であると仮定する。

有理数とは、整数/0以外の整数で表せる数のこと。

というわけで、\(\sqrt{2}\)もこれで表しておく。

$$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$$

ただし、\(b \not = 0\)だ。

また、\(a\)と\(b\)はすでに約分されているとしよう。

つまり、\(a\)と\(b\)の最大公約数は1だ。

では、この式を両辺二乗しよう。

$$2 = \frac{a^2}{b^2}$$

そして、両辺に\(b^2\)を掛ける。

$$2b^2 = a^2$$

ここで、\(2b^2\)は偶数だ。

つまり、\(a^2\)も偶数、元の\(a\)も偶数となる。

\(a=2c\)として、式を書き直してみよう。

$$2b^2=(2c)^2=4c^2$$

両辺を2で割る。

$$b^2=2c^2$$

さて、\(a\)の時と同じように考えてみると、
\(b\)も偶数であることが分かる。

ここで、\(a\)と\(b\)の前提を思い出してみよう。

\(a\)と\(b\)の最大公約数は1だったはずだ。

しかし、今両方とも偶数…2の倍数だと分かった

つまり、最大公約数は小さくても2となる。

これが矛盾だ。

何がいけなかったかというと、
最初に\(\sqrt{2}\)が有理数と仮定したところ。

というわけで、この仮定が間違っていた、
つまり\(\sqrt{2}\)は無理数だと証明できた。

背理法の流れは、こんな感じだ。

無限降下法

無限降下法背理法の一種で、
特に自然数といった下限がある場合に使える手法だ。

やはり背理法なので、
最初は示したいことの否定を仮定しておく

それを式変形などで形を変えて、
元と同じ形の式を作り出す。

このとき、下限がある数について、
元の式より小さい数を含ませておくことがポイント。

すると、これを繰り返すことでどんどん数を小さくすることができる

ただし、下限があるので、必ずどこかで止まるはず。

これでも、矛盾とできるのだ。

…言葉の説明では分かりづらいので、こちらも例を出そう。

無限降下法の具体例:\(\sqrt{2}\)が無理数であることの証明

上の背理法で示したものを、今度は無限降下法で示してみよう。

最初はやはり背理法なので、否定を仮定しておく。

つまり、\(\sqrt{2}\)は有理数と仮定して、
同じように\(a, b\)を使って式にしておく。

$$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$$

\(a, b\)の条件も上とほぼ同じで、
\(b \not = 0\)、\(a\)と\(b\)の最大公約数は1だ。

ただ、上では\(a, b\)は整数と言っていたが、
\(\sqrt{2}\)は正の数なので、\(a\)と\(b\)も自然数としておこう。

で、両辺を二乗し、更に両辺に\(b^2\)を掛けておく。

$$2=\frac{a^2}{b^2}$$

$$2b^2=a^2$$

\(a^2\)は偶数で、\(a\)も偶数、
新たな自然数\(c\)を使って\(a=2c\)として計算を進める。

$$2b^2=(2c)^2=4c^2$$

両辺を2で割る。

$$b^2=2c^2$$

ここまでは同じだ。

さて、ここでさっき\(a\)に対してやったことと全く同じことをする。

つまり、\(b^2\)は偶数なので\(b\)も偶数、というわけで
また新しく自然数\(d\)を用意し、\(b=2d\)として再度計算する。

$$(2d)^2=4d^2=2c^2$$

また両辺を2で割る。

$$2d^2=c^2$$

さて、お気づきだろうか。

この形、上の方で出てきた\(2b^2=a^2\)と全く同じなのだ。

で、\(a=2c\)、\(b=2d\)なので、明らかに\(a>c\)、\(b>d\)だ。

つまり、式変形によってどんどん小さくすることができる

ところが、ここに入っているのは、全て自然数だ。

自然数は、最小が1であり、それ以上は小さくならない

これが、矛盾だ。

最初の仮定、\(\sqrt{2}\)が有理数だという仮定が間違っていたということになる。

よって、\(\sqrt{2}\)が無理数だと証明できた。

これが、無限降下法というものだ。

…話を戻すと、\(FLT(4n)\)の証明にもこれを使うよということだ。

\(FLT(4n)\)証明の概略

では、証明の概略だ。

とはいえ、実はほぼ無限降下法通りに沿って進めていくだけ。

まず、\(FLT(4)\)について、
自然数\(x, y, z\)の組が存在すると仮定する。

その一番小さい組について、
式変形を繰り返してもっと小さい数を含んだ形に変える。

しかし、一番小さいものを持ってきたとして矛盾を導く。

これで\(FLT(4)\)について示した後、
その倍数も成立することを言えば完了だ。

だが、これにもちょっと準備がいる。

どこかというと、式変形の部分だ。

具体的に言うと、ピタゴラスの定理の式を、
二つの数によって作り出すというもの。

次回、準備編ということでこの式変形を説明し、
それを使って次々回解決編として\(FLT(4n)\)を示そう。

コメント

タイトルとURLをコピーしました