フェルマーの最終定理を一部証明してみよう-準備編-

前回は、フェルマーの最終定理の紹介と、
どこをどうやって証明するか、
それに使う無限降下法というものを解説した。

前回の記事はこちら↓

フェルマーの最終定理を一部証明してみよう-あらすじ編- | Shino’s Mind Archive

今回はいったん別のお話になるので、
いきなりこちらをご覧いただいている方も安心して欲しい。

今回は、とある式変形を行う。

何かというと、三平方の定理に関するものだ。

補題として提示し、
それを証明するところまでやってしまおう。

念のため、補題とは証明に使う補助的な定理だ。

それ自体も証明が必要だが、
証明できれば別の証明の中で使うことができる。

補題：三平方の定理の式変換

先に書いておくが、この補題名は私が適当につけただけのものだ。

以下の補題を証明していく。

互いに素な自然数$x, y, z$について、
三平方の定理の関係が成り立っているとする。

$$x^2 + y^2 = z^2$$

このとき、二つの互いに素な数$p, q$を用いて、
以下のように表すことができる。

$$\begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} x = p^2 – q^2 \\ y = 2pq \\ z = p^2 + q^2 \end{array} \right. \end{equation}$$

なんだこの形って感じだと思うが、
大丈夫、これから証明していく。

が、その前に一つ言葉を説明しておこう。

互いに素という用語が出てきている。

これは、最大公約数が1であることを表している。

つまり、$x, y, z$の最大公約数は1だし、
$p, q$の最大公約数も1である。

証明

では、早速証明を始めよう。

$x, y$の奇偶について

まずは、$x, y$の奇偶を調べよう。

ともに偶数か？

まずはこのパターン。

$x, y$ともに偶数かどうかを調べよう。

両方とも偶数と仮定して、$x = 2a$、$y = 2b$と置く。

で、三平方の式に代入してみよう。

$$(2a)^2 + (2b)^2 = z^2$$

$$4a^2 + 4b^2 = z^2$$

$$4(a^2 + b^2) = z^2$$

さて、これで左辺が偶数だと分かった。

つまり、$z^2$も偶数だ。

ということは、元の$z$も偶数となる。

というわけで、$x, y, z$全て偶数…2の倍数となった。

ところが、前提を見てみると、
これらは互いに素だと言っている。

つまり矛盾、$x, y$が両方とも偶数という線は無くなった。

ともに奇数か？

次にこちらを見てみよう。

いったん両方奇数として、
$x = 2a – 1$、$y = 2b – 1$と置いておく。

そうしたら、上と同じように
三平方の定理へ代入してゴリゴリ変換していこう。

$$(2a – 1)^2 + (2b – 1)^2 = z^2$$

$$4a^2 – 4a + 1 + 4b^2 – 4b + 1 = z^2$$

$$4(a^2 – a + b^2 – b) + 2 = z^2$$

先ほどと同じように、
左辺が偶数なので$z^2$も偶数、元の$z$も偶数だ。

ここで、$z = 2c$と置いてさらに計算してみよう。

$$4(a^2 – a + b^2 – b) + 2 = (2c)^2$$

$$4(a^2 – a + b^2 – b) + 2 = 4c^2$$

$$2(a^2 – a + b^2 – b) + 1 = 2c^2$$

左辺が奇数、右辺が偶数、明らかにおかしい。

というわけで矛盾が発生してしまったので、
この線も無くなった。

つまり、$x$と$y$は奇数、偶数の組み合わせだと分かった。

なお、片方を奇数、もう片方を偶数と決めてしまっても、
反対の場合は文字を入れ替えれば同じ議論で進められる。

そのため、ここでは$x$を奇数、$y$を偶数と
固定してしまおう。

ちなみに、$z$の奇偶は？

結論から言ってしまうと、奇数だ。

まず、$x = 2a – 1$、$y = 2b$と置いて、また計算する。

$$(2a – 1)^2 + (2b)^2 = z^2$$

$$4(a^2 – a + b^2) + 1 = z^2$$

ちょっと省略したが、こうなった。

左辺は奇数なので、$z^2$は奇数、
元の$z$も奇数ということになる。

式を変形していこう

では、元の式をちょっといじろう。

$x$を移項し、因数分解する。

$$x^2 + y^2 = z^2$$

$$y^2 = z^2 – x^2$$

$$y^2 = (z + x)(z – x) \tag{1}$$

このとき、$z + x$と$z – x$はともに偶数である。

$x, z$が両方とも奇数だからだ。

つまり、別の文字$J, K$を使って、
以下のように書き直せる。

$$\begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} z + x = 2J \\ z – x = 2K \end{array} \tag{2} \right. \end{equation}$$

$J$と$K$の関係

では、ここで$J$と$K$が互いに素であることを示す。

これも背理法で攻めよう。

まず、$J$と$K$には2以上の最大公約数が存在すると仮定し、
それを$g$と置く。

これを使って、$J$と$K$を以下のように書き換えておく。

$$\begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} J = gj \\ K = gk \end{array} \right. \end{equation}$$

これを、(2)式に代入する。

$$\begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} z + x = 2gj \\ z – x = 2gk \end{array} \tag{3} \right. \end{equation}$$

この二つの式を使って、少し変形する。

まず、$z$を表す形へ、(3)式のそれぞれの辺を足そう。

$$2z = 2gj + 2gk = 2g(j + k)$$

$$z = g(j + k)$$

これで、$z$が$g$の倍数だと分かった。

次に、$x$を表す形へ、(3)式の上から下を引く。

$$2x = 2gj – 2gk = 2g(j – k)$$

$$x = g(j – k)$$

$x$も$g$の倍数のようだ。

では、これらを(1)式の一個前…
$y^2 = z^2 – x^2$に代入しよう。

$$y^2 = (g(j + k))^2 – (g(j – k))^2$$

$$y^2 = g^2(j + k)^2 – g^2(j – k)^2$$

$$y^2 = g^2((j + k)^2 – (j – k)^2)$$

ここで止める。

さて、右辺は$g^2$の倍数なので、
左辺の$y^2$も$g^2$の倍数。

つまり、元の$y$は$g$の倍数となる。

よって、$x, y, z$全て、$g$の倍数となる。

…何か、おかしいことにお気づきだろうか。

実は、そもそもの前提で、
$x, y, z$は互いに素だと言っていた。

矛盾だ。

というわけで、$J$と$K$が互いに素であることが示せた。

式変形続き

では、ちょっと戻って式変形を続けよう。

(1)式…$y^2 = (z + x)(z – x)$に、
(2)式…$J$と$K$を使ったものを代入しておく。

$$y^2 = 2J \times 2K$$

$$y^2 = 4JK \tag{4}$$

ここで、$J$と$K$は互いに素なので、
両方とも平方数となる。

ここもちょっと補足しておこう。

まず、平方数を素因数分解すると、
各素因数の指数は必ず偶数となっている。

右辺について、4は$2^2$なので、素因数2の指数は偶数だ。

つまり、$JK$の各素因数も指数は必ず偶数になる。

さらに、$J$と$K$は互いに素…これを言い換えると、
共通の素因数を持たないということになる。

ということは、$y^2$の各素因数は、
丸ごと$J$、$K$のいずれかに含まれることになる。

例えば、$y^2$の素因数に$3^2$が入っていたら、
これは$J$、$K$いずれかに含まれ、
もう片方には素因数3自体が存在しない。

そうすると、$J$、$K$の各素因数の指数も、
必ず偶数となるのだ。

よって、$J$、$K$はともに平方数となる。

話を戻そう。

今、$J$と$K$がともに平方数だと分かったので、
更に別の文字で置き換えよう。

$J = p^2$、$K = q^2$と置き換える。

このとき、$p$と$q$は互いに素である。

これを(4)式…$y^2 = 4JK$に代入すると…

$$y^2 = 4p^2q^2$$

$$y = 2pq$$

となる。

なお、平方根を見る場合は本来マイナスも見るのだが、
最初の前提で$y$は自然数と置いているので、
プラスしか見ていない。

これで、$y$を表すことができた。

あとは$x$、$z$なのだが、
(2)式の$J, K$に$p^2, q^2$を代入して
軽く変形すれば得られる。

ちょっと離れているので、(2)式を再掲しておこう。

$$\begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} z + x = 2J \\ z – x = 2K \end{array} \tag{2} \right. \end{equation}$$

まずは$z$から。

$$2z = 2(J + K) = 2(p^2 + q^2)$$

$$z = p^2 + q^2$$

次に$x$。

$$2x = 2(J – K) = 2(p^2 – q^2)$$

$$x = p^2 – q^2$$

やっと出た。

まとめると、以下の式が得られた。

$$\begin{equation} \left \{ \begin{array}{l} x = p^2 – q^2 \\ y = 2pq \\ z = p^2 + q^2 \end{array} \right. \end{equation}$$

これで証明完了だ。

かなり長かった、お疲れ様だ。

おわりに

さて、ここまで長々と証明を書いてきたが、
これを使って次回$FLT(4n)$を証明する。

実は今回が一番長く、
次回は今回ほど長くはならないはずだ。

というわけで、次回完結編、お楽しみに。